Três números são conhecidos e falta um quarto: com 6 litros de combustível um carro roda 75 km; quantos litros para 200 km? 5 máquinas fazem 400 peças em 8 dias; quantas peças 3 máquinas fazem em 10 dias? A regra de três é o método para essas perguntas. É a proporção do capítulo anterior transformada em rotina: decida, grandeza por grandeza, se ela anda junto com a incógnita ou contra ela, escreva as razões e multiplique cruzado. Com duas grandezas é a regra de três simples; com três ou mais, a composta.
Ao final você vai conseguir
- Resolver uma regra de três simples, direta e inversa.
- Decidir se duas grandezas são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem uma coisa nem outra.
- Montar uma regra de três composta com o método das setas.
- Explicar por que as razões de uma regra de três composta se multiplicam.
- Conferir uma resposta com a constante que as grandezas compartilham.
O nome diz o que o método usa: três números conhecidos acham o quarto. Os livros de aritmética da Idade Média e do Renascimento a chamavam de regra de ouro, porque os comerciantes a usavam em todo preço, câmbio e partilha; em português, espanhol e italiano ela continua se chamando regra de três, enquanto os livros escolares em inglês costumam dizer apenas problemas de proporção. Ponha as duas grandezas em duas colunas, o caso conhecido numa linha e o caso novo na linha seguinte. Quando as grandezas são diretamente proporcionais (dobre uma e a outra dobra), a razão entre os dois valores de uma coluna é igual à razão na outra coluna.
Tudo depende de uma decisão, tomada antes de qualquer conta. Imagine dobrar uma grandeza enquanto todo o resto fica como estava. Se a outra também dobra, elas são diretamente proporcionais e a razão entre elas é fixa. Se ela cai pela metade, são inversamente proporcionais e o produto é fixo: o dobro de operários, metade dos dias. Se ela faz outra coisa (fica igual, quadruplica, cresce um valor fixo), elas não são proporcionais, e a regra de três dá uma resposta errada por mais cuidadosa que seja a conta. “Mais dá mais” não basta para ser direta: tem que ser na mesma proporção.
| Par de grandezas | Tipo | Por quê |
|---|---|---|
| quilos comprados e preço pago | direta | todo quilo custa o mesmo |
| máquinas e peças feitas (mesmos dias) | direta | toda máquina faz o mesmo número de peças |
| velocidade e tempo de viagem (mesma distância) | inversa | velocidade × tempo = distância, que é fixa |
| operários e dias (mesmo serviço) | inversa | operários × dias = o trabalho, em operários-dia, que é fixo |
| torneiras e tempo para encher um tanque | inversa | torneiras × horas = o volume do tanque em “torneiras-hora” |
| lado de um quadrado e sua área | nenhuma | dobre o lado e a área fica multiplicada por 4 (área = lado²) |
| quilômetros de táxi e valor da corrida | nenhuma | a bandeirada fixa faz 0 km custar mais que 0; dobre os km e o valor menos que dobra |
| idade e altura de uma criança | nenhuma | uma criança de 10 anos não tem o dobro da altura de uma de 5 |
A 60 km/h uma viagem leva 4 horas. A 80 km/h leva menos, então velocidade e tempo andam em sentidos contrários. A distância não mudou, e distância = velocidade × tempo, então o que fica fixo é o produto: 60 × 4 = 240 = 80 × x, e x = 3 horas. No arranjo de duas colunas isso quer dizer que uma razão tem que ser virada de cabeça para baixo antes de multiplicar cruzado. O costume é manter a coluna do x como está e inverter a outra.
As escolas brasileiras e portuguesas ensinam um arranjo que deixa a decisão à vista, e ele funciona para qualquer número de grandezas:
- Escreva uma coluna por grandeza, com a unidade no alto. O caso conhecido vai na primeira linha, o caso novo na segunda; o x fica onde falta o número.
- Desenhe uma seta para baixo na coluna do x. Ela é a referência.
- Para cada outra coluna, faça a pergunta do dobro só contra o x, como se todas as outras colunas estivessem congeladas. Mesmo sentido: seta para baixo. Contrário: seta para cima.
- Escreva a razão da coluna do x, de cima sobre de baixo. Iguale ao produto das outras razões, cada uma lida no sentido da sua própria seta: seta para baixo é de cima sobre de baixo, seta para cima é de baixo sobre de cima.
- Resolva para x e confira a resposta com a constante (próxima seção).
A coluna do x sempre ganha uma seta para baixo. Para cada outra coluna, congele todo o resto e pergunte: se esta grandeza cresce, x cresce também? Então a seta aponta para baixo como a do x (direta). x diminui? Então ela aponta para cima (inversa), e a razão dela é escrita de cabeça para baixo, em roxo. A razão da coluna do x é igual ao produto das outras, cada uma lida no sentido da sua seta. Comece com todas as setas para baixo e veja o quanto a resposta erra.
5 máquinas fazem 400 peças em 8 dias. Quantas peças 3 máquinas fazem em 10 dias? Agora três grandezas mudam juntas. A chave é o passo 3 do método: compare cada grandeza com a incógnita sozinha. Com os dias congelados, mais máquinas fazem mais peças: direta. Com as máquinas congeladas, mais dias fazem mais peças: direta. Máquinas e dias nunca são comparados entre si; só com o x. As duas setas apontam para baixo como a do x, então 400/x = (5/3) · (8/10) = 40/30, e x = 400 · 30/40 = 300 peças.
Com uma grandeza inversa: o muro
6 operários, trabalhando 8 horas por dia, constroem 400 m de muro em 20 dias. Quantos dias 10 operários, trabalhando 6 horas por dia, precisam para 600 m? A incógnita é dias. Mais operários: menos dias (inversa, seta para cima). Mais horas por dia: menos dias (inversa, seta para cima). Mais metros: mais dias (direta, seta para baixo).
Por que as razões se multiplicam
O método parece uma receita, mas vem de um fato só: quando cada grandeza é proporcional à incógnita por conta própria, existe uma única constante que amarra todas elas. No muro, cada operário assenta o mesmo comprimento por hora, então metros = k × operários × horas por dia × dias, com o mesmo k para as duas equipes.
Uma porcentagem como regra de três
18 alunos são 40 % de uma turma. Quantos alunos tem a turma? A turma inteira é 100 %, e alunos e porcentagem são diretamente proporcionais: 18 vai com 40, x vai com 100. 18/x = 40/100, então 40x = 1800 e x = 45. É o mesmo que o “todo = parte / porcentagem” do capítulo anterior, 18/0,4 = 45, arrumado como regra de três.
Ajustando uma receita
Um bolo para 8 pessoas leva 300 g de farinha e 3 ovos. Para 12 pessoas: 8/12 = 300/x dá x = 450 g de farinha, e 8/12 = 3/y dá y = 4,5 ovos. O tempo de forno não acompanha: um bolo maior não leva 1,5 vez mais tempo, porque o tempo não é proporcional ao número de convidados. O teste do dobro pega isso antes da conta.
Três grandezas inversas
4 bombas iguais, funcionando 6 horas por dia, esvaziam um reservatório em 15 dias. Quantos dias 5 bombas, funcionando 8 horas por dia, levam? Mais bombas: menos dias (inversa). Mais horas por dia: menos dias (inversa). 15/x = (5/4) · (8/6) = 40/24, então x = 15 · 24/40 = 9 dias. Conferindo: 4 × 6 × 15 = 360 bombas-hora, e 5 × 8 × 9 = 360 bombas-hora também.
| Errado | Certo | Por quê |
|---|---|---|
| multiplicar cruzado um par inverso | inverta a coluna inversa antes | senão mais rápido dá mais tarde e mais operários dão mais dias |
| comparar máquinas com dias | compare cada coluna só com o x | as setas dizem como cada grandeza mexe na incógnita, com as outras congeladas |
| regra de três na área de um quadrado | A = s² | o dobro do lado, quatro vezes a área: não é proporcional |
| regra de três numa corrida com bandeirada | tire a parte fixa antes | uma parte fixa quebra a proporção |
| minutos numa linha, horas na outra | uma unidade por coluna | as razões só se cancelam quando os dois valores têm a mesma unidade |
| uma resposta nunca conferida | recalcule a constante | a razão (direta) ou o produto (inversa) tem que dar o mesmo nos dois casos |
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Cada exercício é criado na hora, então uma rodada nova nunca é igual. O computador escolhe a resposta primeiro e monta a pergunta em volta dela, trabalhando com frações exatas, por isso o gabarito está sempre certo. As respostas são lidas de forma exata: 0,75, 3/4 e 6/8 contam como o mesmo número (quando a forma irredutível é pedida, 6/8 só recebe um lembrete). Uma resposta errada mostra a resolução linha por linha, na ordem em que a lição faz; o número novo de cada linha aparece colorido.
Ideias-chave
- A regra de três acha um quarto número a partir de três, quando as grandezas são proporcionais.
- Teste do dobro: a outra dobra → direta (razão fixa); cai pela metade → inversa (produto fixo); qualquer outra coisa → nada de regra de três.
- Direta: a/c = b/x, então x = bc/a. Inversa: vire uma razão, então x = ab/c.
- Método das setas: seta para baixo no x; cada outra coluna comparada só com o x, para baixo se anda junto, para cima se anda contra; razões com seta para cima são invertidas.
- Composta: a razão da coluna do x é igual ao produto de todas as outras razões.
- Funciona porque uma constante amarra todas as grandezas, e ela se cancela quando os dois casos são divididos.
- Confira com a constante: peças por máquina-dia, metros por operário-hora.