Muitos problemas pedem menos do que parecem. "Ache r² + q², onde r e q são as raízes" não precisa das raízes. "Ache a soma dos coeficientes de (2x − 1)⁵" não precisa da expansão. Os macetes desta aula percebem do que a pergunta realmente precisa e vão direto nisso: a soma e o produto das raízes, uma simetria, um valor de x bem escolhido. Cada um é descrito como na aula anterior: o que é, por que funciona, quando usar e a armadilha.
Ao final você vai conseguir
- Achar expressões simétricas das raízes, como r² + q² ou 1/r + 1/q, só a partir dos coeficientes.
- Resolver um sistema simétrico trocando para s = x + y e p = xy.
- Usar t = x + 1/x para obter x² + 1/x² e para resolver uma equação cujos coeficientes se leem igual nos dois sentidos.
- Obter somas de coeficientes e restos substituindo x = 1, −1 ou 0.
- Testar uma identidade com números, e saber quando poucos valores são uma prova e quando não são.
O que é, e por que funciona
Se r e q são as raízes de x² − s·x + p = 0, então r + q = s e r·q = p. Dá para ler os dois direto da equação. O motivo: uma equação do segundo grau com raízes r e q é (x − r)(x − q), e abrir o produto dá x² − (r + q)x + rq. Comparando com x² − s·x + p, o coeficiente do meio é menos a soma e o último é o produto. Para a·x² + b·x + c = 0, divida por a primeiro: a soma é −b/a e o produto é c/a. A aula de equações do segundo grau prova isso por inteiro; aqui o ponto é o que isso deixa você pular.
Quando usar
O sinal é uma pergunta sobre as raízes que não muda se você trocar uma pela outra. r² + q² é o mesmo que q² + r²; o mesmo vale para 1/r + 1/q, (r − q)² e r³ + q³. Uma expressão assim se chama simétrica, e toda expressão simétrica em r e q pode ser escrita usando só s e p. Então você nunca precisa das raízes, que podem ser frações feias com raiz quadrada, ou nem ser reais.
| Você quer | A partir de s e p | Como |
|---|---|---|
| r² + q² | s² − 2p | (r + q)² = r² + 2rq + q², tire 2rq |
| (r − q)² | s² − 4p | (r − q)² = r² + q² − 2rq; é o discriminante (dividido por a²) |
| 1/r + 1/q | s / p | denominador comum: (q + r)/(rq) |
| r³ + q³ | s³ − 3ps | (r + q)³ = r³ + q³ + 3rq(r + q) |
| r²q + rq² | ps | ponha rq em evidência: rq(r + q) |
| expressão | a partir de s e p | valor | pelas raízes |
|---|---|---|---|
| r² + q² | s² − 2p | 17 | 17 |
| (r − q)² | s² − 4p | 9 | 9 |
| 1/r + 1/q | s / p | 1.25 | 1.25 |
| r³ + q³ | s³ − 3sp | 65 | 65 |
A curva roxa é y = x² − s·x + p, cujas raízes são r e q, com s = r + q e p = rq. No primeiro modo arraste os dois pontos pelo eixo; no segundo, escolha s e p você mesmo. A tabela calcula quatro expressões de dois jeitos: só a partir de s e p (fórmula em âmbar) e direto das raízes (verde). Os dois sempre batem, mesmo quando s² − 4p é negativo e a curva não toca o eixo: aí as raízes são números complexos α ± βi, e as expressões continuam dando números reais.
Mais dois usos. Se você conhece uma raiz, o produto dá a outra na hora: 2x² − 7x + 3 = 0 tem a raiz 3, e o produto das raízes é 3/2, então a outra raiz é (3/2)/3 = 1/2. E para montar uma equação com raízes dadas, escreva x² − (soma)x + (produto) = 0: as raízes 2 e −5 vêm de x² + 3x − 10 = 0.
x + y = 5 e x² + y² = 13 é um sistema que não muda se você trocar x por y. Essa simetria é o sinal. Troque as incógnitas por s = x + y e p = xy: o sistema fica simples, e no fim x e y são as duas raízes de t² − s·t + p = 0, pelo macete 1. Por que isso sempre funciona? Porque toda expressão que não muda quando x e y trocam de lugar pode ser escrita usando s e p; esse fato se chama teorema fundamental dos polinômios simétricos.
Quando x e 1/x aparecem juntos, chame a soma deles de t. Elevar t ao quadrado dá x² + 2 + 1/x², porque o termo cruzado é 2 · x · (1/x) = 2: o x some dele. Então x² + 1/x² = t² − 2, sem nunca achar x. Elevando ao cubo do mesmo jeito, x³ + 1/x³ = t³ − 3t.
O mesmo t resolve equações cujos coeficientes se leem igual dos dois lados, chamadas palíndromas (ou recíprocas): x⁴ + x³ − 4x² + x + 1 = 0 tem coeficientes 1, 1, −4, 1, 1. Esse é o sinal. Divida por x², o que aqui é seguro porque x = 0 não é solução (o termo constante é 1, não 0), então nenhuma solução se perde. Os termos se juntam em pares como x² + 1/x² e x + 1/x, e uma equação de grau 4 vira uma de segundo grau em t.
Escreva um polinômio como P(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + … + cₙxⁿ, onde c₀, c₁, … são os coeficientes. Toda potência de 1 vale 1, então P(1) é a soma de todos os coeficientes. As potências de −1 alternam entre +1 e −1, então P(−1) é a soma alternada c₀ − c₁ + c₂ − …. Toda potência de 0 acima da zerésima vale 0, então P(0) = c₀, o termo constante. O sinal para usar: uma pergunta sobre os coeficientes de uma expansão grande, não sobre a expansão em si.
A mesma ideia aparece em outros lugares da trilha. O resto de P(x) dividido por x − 1 é P(1), o teorema do resto da aula de divisão de polinômios. E (1 + x)ⁿ em x = 1 diz que os coeficientes binomiais C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) somam 2ⁿ.
Antes de confiar numa identidade ou numa resposta, coloque números. Um valor onde os dois lados dão diferente basta para mostrar que a identidade é falsa: (a + b)² = a² + b² falha em a = b = 1, já que 4 ≠ 2. Concordar em alguns valores normalmente só deixa provável. Mas para polinômios pode ser uma prova. A diferença dos dois lados, D(x), é de novo um polinômio. Um polinômio de grau no máximo n que não é zero tem no máximo n raízes, já que cada raiz dá um fator (o teorema do fator). Então, se os dois lados têm grau no máximo n e concordam em n + 1 valores diferentes, D tem n + 1 raízes, D tem que ser o polinômio zero, e a identidade vale para todo x.
Qual é maior, 2³⁰⁰ ou 3²⁰⁰? Nenhum cabe numa calculadora. Deixe os expoentes iguais: 300 e 200 têm o fator 100 em comum, então 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰ e 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰. Para números positivos, elevar à mesma potência positiva mantém a ordem, e 8 < 9, então 3²⁰⁰ é maior. Quando os expoentes não têm um fator útil em comum, use logaritmos: o logaritmo também mantém a ordem, e transforma uma potência num produto, log(aⁿ) = n · log a.
| Macete | A ideia em uma linha | Aula |
|---|---|---|
| Pares de Gauss | 1 + 2 + … + 100: junte o primeiro com o último, 1 + 100, 2 + 99, …: 50 pares de 101 = 5050 | Sequências e séries |
| Soma telescópica | 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1): na soma cada termo do meio cancela o vizinho, e sobra 1 − 1/(n + 1) | Somatórios e suas propriedades |
| Substituição | x⁴ − 13x² + 36 = 0: dê nome ao bloco que se repete, u = x², e vira uma equação do segundo grau | Caixa de ferramentas das equações |
| Quando você vê | Tente | Por que funciona |
|---|---|---|
| uma expressão das raízes que não muda se elas trocarem de lugar | soma e produto | (x − r)(x − q) = x² − (r + q)x + rq |
| um sistema que não muda quando x e y trocam | s = x + y, p = xy | expressões simétricas são expressões em s e p |
| x e 1/x juntos, ou coeficientes que se leem igual nos dois sentidos | t = x + 1/x | x · (1/x) = 1, então os termos cruzados são números |
| uma pergunta sobre os coeficientes, não sobre a expansão | substitua 1, −1 ou 0 | 1ᵏ = 1, (−1)ᵏ = ±1, 0ᵏ = 0 |
| uma identidade ou uma resposta em que confiar | teste com números como 2 e 3 | uma falha derruba; para grau n, n + 1 acertos provam |
| duas potências gigantes para comparar | um expoente comum, ou logaritmos | os dois mantêm a ordem dos números positivos |
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Saber um macete é metade do caminho; a outra metade é ver quando ele serve. Cada pergunta é um problema e o que ele pede. Escolha o macete que resolve. Uma resposta errada mostra o macete certo e uma frase sobre por que ele funciona ali. As perguntas vêm numa ordem nova a cada rodada.
| Errado | Certo | Por quê |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6: as raízes somam −5 | +5 | a soma é −b/a, e aqui b = −5 |
| 2x² − 6x + 4: o produto das raízes é 4 | 4/2 = 2 | divida pelo coeficiente líder a |
| r² + q² = s² | s² − 2p | (r + q)² também contém o termo cruzado 2rq |
| x² + 1/x² = t² | t² − 2 | o termo cruzado 2 · x · (1/x) vale 2, não 0 |
| conferir só com x = 0 e x = 1 | teste também 2 ou 3 | x² = x vale em 0 e 1 e em mais nenhum lugar |
| dividir uma equação palíndroma por x² sem pensar | confira antes que x = 0 não é raiz | dividir por uma expressão que pode valer 0 pode perder uma solução |
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Cada exercício é criado na hora, então uma rodada nova nunca é igual. O computador escolhe a resposta primeiro e monta a pergunta em volta dela, trabalhando com frações exatas, por isso o gabarito está sempre certo. As respostas são lidas de forma exata: 0,75, 3/4 e 6/8 contam como o mesmo número (quando a forma irredutível é pedida, 6/8 só recebe um lembrete). Uma resposta errada mostra a resolução linha por linha, na ordem em que a lição faz; o número novo de cada linha aparece colorido.
Ideias-chave
- As raízes de a·x² + b·x + c somam −b/a e multiplicadas dão c/a; qualquer expressão que não muda quando elas trocam de lugar pode ser escrita com esses dois números.
- r² + q² = s² − 2p, (r − q)² = s² − 4p, 1/r + 1/q = s/p, r³ + q³ = s³ − 3ps; valem também para raízes complexas.
- Um sistema que não muda quando x e y trocam fica simples em s = x + y e p = xy; no fim x e y são as raízes de t² − st + p = 0.
- Com t = x + 1/x: x² + 1/x² = t² − 2. Equações cujos coeficientes se leem igual nos dois sentidos viram equações do segundo grau em t, depois de dividir por x².
- P(1) é a soma dos coeficientes, P(−1) a soma alternada e P(0) o termo constante.
- Um contraexemplo derruba uma identidade. Para polinômios de grau no máximo n, concordar em n + 1 valores a prova.
- Compare potências gigantes deixando os expoentes iguais, ou comparando os logaritmos.