O capítulo de equações lineares deu uma regra só: faça a mesma coisa dos dois lados. Para equações mais difíceis, com frações, raízes quadradas e potências, você precisa de mais movimentos, e alguns deles são armadilhas. Elevar os dois lados ao quadrado pode criar soluções que não são de verdade. Dividir por x pode jogar fora uma solução verdadeira. Este capítulo reúne os movimentos e truques usados para manipular equações, diz quais são sempre seguros e mostra como usar os arriscados sem cair na armadilha.
Ao final você vai conseguir
- Distinguir um movimento que mantém as soluções de um que pode criar soluções falsas ou perder verdadeiras.
- Eliminar frações multiplicando em cruz, depois de anotar quais valores os denominadores proíbem.
- Resolver uma equação com raiz quadrada isolando, elevando ao quadrado e conferindo.
- Enxergar uma substituição, e fatorar em vez de dividir pela incógnita.
Resolver uma equação é uma corrente de equações, cada uma reescrita a partir da anterior. O que importa é como duas vizinhas na corrente estão ligadas. Uma seta de mão dupla, ⇔, quer dizer que as duas equações são verdadeiras exatamente para os mesmos x: o movimento pode ser desfeito, então nenhuma solução é ganha ou perdida. Uma seta de mão única, ⇒, quer dizer que toda solução da primeira é solução da segunda, mas não necessariamente o contrário: a segunda equação pode ter soluções a mais que a primeira não tem. Alguns movimentos apontam até para o lado errado, e soluções da primeira somem.
Um movimento de mão única não é proibido. Muitas vezes é o único caminho. Ele só quer dizer que a lista final de respostas é uma lista de candidatos, e cada candidato precisa ser testado na equação original. Um candidato que falha se chama estranho, ou solução falsa: os movimentos o criaram, a equação original nunca o teve. O perigo oposto, uma solução perdida, é pior, porque nenhuma conferência no final consegue trazê-la de volta. A tabela lista os movimentos de sempre.
| Movimento | Risco | Como ficar seguro |
|---|---|---|
| Somar ou subtrair a mesma coisa dos dois lados | nenhum | sempre seguro |
| Multiplicar ou dividir os dois lados por um número | nenhum, a não ser que o número seja 0 | nunca multiplique nem divida por 0 |
| Multiplicar os dois lados por uma expressão com x, como x − 2 | pode criar soluções falsas onde ela vale 0 | anote antes onde ela vale 0, e rejeite esses valores |
| Dividir os dois lados por uma expressão com x | pode perder as soluções onde ela vale 0 | coloque-a em evidência em vez disso, e use a regra do produto zero |
| Elevar os dois lados ao quadrado | pode criar soluções falsas (A = −B) | confira cada candidato na original, ou mantenha a condição de sinal |
| Tirar a raiz quadrada dos dois lados | pode perder a solução negativa | escreva ±: x² = 9 dá x = ±3 |
| Tirar o logaritmo dos dois lados | nenhum, se os dois lados forem positivos | um log precisa de entrada positiva: confira o domínio |
| Usar uma regra de log, como ln a + ln b = ln(ab) | pode criar soluções falsas (ab > 0 também quando a, b < 0) | confira cada candidato na original |
Azul é o lado esquerdo da equação, âmbar o lado direito; uma solução é um x onde eles se encontram. Cada candidato é testado na primeira equação: verde é verdadeira, vermelha é falsa (um movimento a criou), um anel âmbar tracejado é uma solução verdadeira que um movimento perdeu. Antes de cada movimento, preveja qual dos três ele vai ser.
Quando cada lado é uma fração só, a/b = c/d, você pode multiplicar os dois lados por b·d. À esquerda o b se cancela, à direita o d se cancela, e o que sobra é a·d = b·c. Desenhado na página, cada numerador é multiplicado pelo denominador do outro lado, em cruz, daí o nome. O movimento multiplica por b·d, uma expressão que pode conter x, então só é seguro onde b e d não são zero. Anote esses valores proibidos antes de começar.
x³ = 4x parece um convite para dividir os dois lados por x. Faça isso e você obtém x² = 4, então x = ±2, e a solução x = 0 sumiu: 0³ = 4 · 0 é verdade. Dividir por x supôs x ≠ 0 sem avisar. O caminho seguro passa tudo para um lado e coloca em evidência aquilo pelo que você queria dividir. Então a regra do produto zero termina o serviço: um produto é zero exatamente quando pelo menos um dos fatores é zero.
Para se livrar de uma raiz quadrada, eleve-a ao quadrado: (√u)² = u. Dois hábitos fazem isso funcionar. Primeiro, isole a raiz, para ela ficar sozinha de um lado. Se você elevar √(x + 7) + 5 ao quadrado do jeito que está, (a + b)² = a² + 2ab + b² dá um termo do meio 10√(x + 7), e a raiz continua lá. Segundo, elevar ao quadrado é um movimento de mão única, então confira cada candidato na equação original. Uma raiz quadrada nunca é negativa, então qualquer candidato que deixa o outro lado negativo é falso.
Uma raiz quadrada no denominador, ou uma diferença de duas raízes como √(x + 5) − √x = 1, tem um truque próprio: multiplicar pelo conjugado, os mesmos dois termos com o sinal entre eles trocado, porque (a + b)(a − b) = a² − b² não deixa raiz nenhuma. Numa equação isso quer dizer multiplicar os dois lados, então o fator não pode ser zero, como na tabela lá em cima. O truque tem uma seção inteira, com o porquê de funcionar, um desenho e exemplos resolvidos, na aula Macetes de álgebra I, no fim desta seção.
Algumas equações são uma velha conhecida disfarçada. x⁴ − 13x² + 36 = 0 tem grau 4, mas x só aparece como x² e (x²)². Dê um nome novo ao pedaço que se repete, u = x², e ela vira a equação do segundo grau u² − 13u + 36 = 0. Resolva essa, depois desfaça a substituição. O mesmo truque transforma 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 numa equação do segundo grau, porque 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Antes de desfazer, veja que valores u pode assumir: u = x² e u = 2ˣ nunca são negativos, então um u negativo não dá x nenhum.
| Quando você vê | Tente | Cuidado com |
|---|---|---|
| frações com números embaixo | multiplique cada termo pelo MMC (Equações lineares) | multiplique cada termo, não só as frações |
| uma fração de cada lado | multiplique em cruz | valores que zeram um denominador |
| a incógnita como fator comum | passe tudo para um lado, fatore, regra do produto zero | nunca divida por ela |
| x² e x, sem jeito de fatorar | complete o quadrado ou use a fórmula de Bhaskara (Equações do segundo grau) | some o mesmo número dos dois lados |
| uma raiz quadrada | isole-a, depois eleve ao quadrado | soluções falsas: confira todas |
| uma raiz no denominador ou uma diferença de raízes | multiplique pelo conjugado | multiplique numerador e denominador, ou os dois lados |
| um quadrado de cada lado, x² = 9 | raiz quadrada com ±, ou fatore | a solução negativa |
| o mesmo bloco repetido (x², 2ˣ, sen x) | substitua por u | valores que u não pode assumir |
| a incógnita num expoente | logaritmo dos dois lados (Expoentes e logaritmos) | um log precisa de entrada positiva |
| Errado | Certo | Por quê |
|---|---|---|
| √(a + b) = √a + √b | deixe como √(a + b) | √(9 + 16) = √25 = 5, mas √9 + √16 = 7 |
| (x + 3)² = x² + 9 | x² + 6x + 9 | falta o termo cruzado 2 · 3x |
| 1/(√a + √b) = 1/√a + 1/√b | multiplique pelo conjugado | uma fração não se separa sobre uma soma no denominador: 1/(1 + 1) = 1/2, não 2 |
| x² = 5x → x = 5 | x(x − 5) = 0: x = 0 ou 5 | dividir por x perdeu x = 0 |
| x² = 16 → x = 4 | x = ±4 | (−4)² = 16 também |
| elevar ao quadrado e não conferir | teste cada candidato na original | elevar ao quadrado pode criar soluções falsas |
| x/2 + 1 = 3/x → x · x = 2 · 3 | multiplique cada termo por 2x | a multiplicação em cruz precisa de uma fração só de cada lado |
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Cada exercício é criado na hora, então uma rodada nova nunca é igual. O computador escolhe a resposta primeiro e monta a pergunta em volta dela, trabalhando com frações exatas, por isso o gabarito está sempre certo. As respostas são lidas de forma exata: 0,75, 3/4 e 6/8 contam como o mesmo número (quando a forma irredutível é pedida, 6/8 só recebe um lembrete). Uma resposta errada mostra a resolução linha por linha, na ordem em que a lição faz; o número novo de cada linha aparece colorido.
Ideias-chave
- Um movimento que pode ser desfeito (⇔) mantém as soluções; um de mão única (⇒) transforma as respostas em candidatos que precisam ser conferidos.
- Multiplicar por uma expressão que pode valer 0, elevar ao quadrado e algumas regras de log podem criar soluções falsas: confira cada candidato na original.
- Dividir por uma expressão que pode valer 0, e tirar raiz quadrada sem ±, podem perder soluções verdadeiras: fatore, e escreva ±.
- a/b = c/d ⇔ ad = bc, depois de anotar b ≠ 0 e d ≠ 0; precisa de uma fração só de cada lado.
- Para uma raiz quadrada: isole, eleve ao quadrado, depois confira.
- A substituição, u = x² ou u = 2ˣ, transforma uma equação disfarçada numa conhecida; atenção aos valores que u não pode assumir.