Um dado, um tijolo, uma pirâmide do Egito, uma bola de futebol, um cristal de sal: todos são sólidos limitados por polígonos planos. Um sólido assim é um poliedro, e as primeiras perguntas sobre ele são de contagem. Quantas faces, quantas arestas, quantos cantos? Este capítulo conta tudo isso sem desenhar cada pedaço: com fórmulas para prismas e pirâmides, com o truque de contar cada aresta duas vezes e com uma relação que Euler achou em 1750 e que amarra os três números. No fim vem a outra habilidade do dia a dia com sólidos: ler e desenhar um sólido visto de cima, de frente e de lado.
Ao final você vai conseguir
- Reconhecer as faces, as arestas e os vértices de um poliedro e contá-los.
- Dar V, A e F de qualquer prisma ou pirâmide a partir do número de lados da base.
- Achar o número de arestas somando os lados das faces, ou as arestas em cada vértice.
- Usar a relação de Euler V − A + F = 2 para achar uma contagem que falta.
- Desenhar e ler as vistas de cima, frontal e lateral de um sólido.
Um poliedro (do grego, "muitas faces") é um sólido cuja superfície é feita de polígonos planos. Cada polígono é uma face. Duas faces se encontram num segmento, uma aresta, e toda aresta pertence a exatamente duas faces. Os pontos onde as arestas se encontram são os vértices, os cantos. As contagens se escrevem V (vértices), A (arestas; as fórmulas e a figura usam E, do inglês edges, que é a mesma coisa) e F (faces). Um cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Um poliedro é convexo quando não tem reentrâncias: o segmento entre dois pontos quaisquer dele fica dentro dele. Um dado e uma pirâmide são convexos; um sólido em forma de estrela não é.
Cada face lista os seus lados, e toda aresta é lado de exatamente duas faces, então somar os lados de todas as faces conta cada aresta duas vezes. O mesmo acontece com os vértices: cada aresta tem duas pontas. Corte os cantos e acompanhe as contagens: cada canto vira uma face nova, cada aresta fica com um pedaço do meio mais curto, e V − E + F continua 2 (E são as arestas, o A dos livros). O icosaedro cortado a um terço de cada aresta é a bola de futebol clássica. Arraste para girar; as arestas escondidas são tracejadas.Deslize para girar; as arestas escondidas são tracejadas.
Na figura, alterne entre faces, arestas e vértices para ver cada conjunto sozinho, e gire o sólido: as linhas tracejadas são as arestas de trás. Contar no olho funciona para um cubo e falha rápido num dodecaedro. O resto do capítulo troca a contagem por raciocínio.
Um prisma tem dois polígonos iguais, as bases, ligados por uma faixa de paralelogramos (retângulos quando ele está de pé, reto). Uma pirâmide tem uma base e um único vértice no alto, o ápice, ligado a cada canto da base por triângulos. Os dois levam o nome da base: um prisma pentagonal tem pentágonos como bases. Se a base tem n lados, toda contagem sai de n. No prisma: n vértices em cada base, então 2n; n arestas em volta de cada base mais n arestas subindo, então 3n; n faces laterais mais 2 bases, então n + 2. Na pirâmide: n vértices da base mais o ápice; n arestas da base mais n arestas subindo até o ápice; n triângulos mais a base.
| Sólido | n | V | E | F |
|---|---|---|---|---|
| prisma triangular | 3 | 6 | 9 | 5 |
| cubo (prisma quadrangular) | 4 | 8 | 12 | 6 |
| prisma hexagonal | 6 | 12 | 18 | 8 |
| pirâmide triangular | 3 | 4 | 6 | 4 |
| pirâmide quadrangular | 4 | 5 | 8 | 5 |
| pirâmide hexagonal | 6 | 7 | 12 | 7 |
A maioria dos sólidos dos exercícios não é prisma nem pirâmide, e a questão dá as faces: "um sólido tem 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais". Dê a volta em cada face e conte os lados dela. Cada lado é uma aresta, mas cada aresta é lado de duas faces, então essa contagem encontra cada aresta exatamente duas vezes. A mesma contagem dupla funciona a partir dos cantos: em cada vértice conte as arestas que chegam ali (o grau do vértice); toda aresta tem duas pontas, então o total é de novo 2A.
Some os vértices, tire as arestas, some as faces. No cubo, 8 − 12 + 6 = 2; na bola de futebol, 60 − 90 + 32 = 2; em todo poliedro da figura, 2. Leonhard Euler percebeu isso em 1750, e vale para todo poliedro convexo. A ideia da prova: olhe o sólido através de uma face, bem de perto, e as arestas viram um desenho plano sem cruzamentos, no qual a face por onde você olha é o lado de fora. Construir esse desenho uma aresta de cada vez nunca muda V − A + F. A prova completa está no capítulo de grafos planares da seção de Matemática Discreta; aqui a relação é uma ferramenta.
Achando a contagem que falta
O exercício padrão dá as faces e pede os vértices. Dois passos: as faces dão A pela contagem dupla, depois Euler dá V. Um poliedro convexo tem 8 faces triangulares e 6 faces quadradas. Quantos vértices?
O sólido existe: é o cubo com os cantos cortados na metade de cada aresta (o cuboctaedro), e em cada um dos seus 12 vértices chegam 4 arestas, então 4 · 12 = 48 = 2A. Uma segunda contagem que concorda é a melhor conferência.
Serre todos os cantos de um poliedro, um pouco adiante em cada aresta. Cada canto antigo deixa uma face nova pequena, um polígono com tantos lados quantas eram as arestas que chegavam ali. Cada aresta antiga perde as duas pontas mas fica com o pedaço do meio, e ganha um vértice novo em cada ponta. Aperte "cortar os cantos" na figura e acompanhe as contagens. Os números novos, marcados com uma linha (V', A', F'), saem direto dos antigos.
Corte os 12 cantos de um icosaedro (20 triângulos, 5 em cada canto) a um terço de cada aresta: os triângulos viram hexágonos, os cantos viram 12 pentágonos. V' = 2 · 30 = 60, A' = 3 · 30 = 90, F' = 20 + 12 = 32. É a bola de futebol do exemplo anterior, e o nome oficial dela é icosaedro truncado.
Um poliedro é regular quando todas as faces são o mesmo polígono regular e o mesmo número de faces chega a cada vértice. Só existem cinco, conhecidos como sólidos de Platão. As faces de um canto precisam somar menos de 360°, senão ficariam planas: três, quatro ou cinco triângulos equiláteros (60° cada), três quadrados (90°) ou três pentágonos regulares (108°) são as únicas opções. O capítulo de grafos planares prova a mesma coisa a partir da relação de Euler.
| Sólido | Face | Faces em cada vértice | V | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| tetraedro | triângulo | 3 | 4 | 6 | 4 |
| cubo (hexaedro) | quadrado | 3 | 8 | 12 | 6 |
| octaedro | triângulo | 4 | 6 | 12 | 8 |
| dodecaedro | pentágono | 3 | 20 | 30 | 12 |
| icosaedro | triângulo | 5 | 12 | 30 | 20 |
Olhe as colunas: o cubo e o octaedro trocam V e F, e o dodecaedro e o icosaedro também. Ponha um ponto no centro de cada face de um cubo e ligue os pontos vizinhos: sai um octaedro. Pares assim se chamam duais. O nome de cada sólido conta as faces: tetra 4, hexa 6, octa 8, dodeca 12, icosa 20.
As plantas de um prédio ou de uma peça não desenham o sólido em perspectiva. Elas desenham o que se vê olhando reto para ele de três direções: de cima (a vista superior, ou planta), de frente e de um lado. Cada vista é uma projeção ortogonal: todo ponto do sólido anda reto até uma parede plana, por linhas perpendiculares a ela, e cai onde bate. A profundidade se perde, então uma vista mostra só o contorno naquela direção, e o que está atrás de algo mais alto some.
Uma vista guarda só o que chega à parede: na vista frontal cada coluna mostra a sua pilha mais alta, esteja onde estiver na profundidade, e na vista lateral cada fileira faz o mesmo. Sólidos diferentes podem ter a mesma vista, e é por isso que as plantas dão duas ou três. A vista de cima também monta o sólido: toque num quadrado para empilhar mais um cubo; os números são as alturas. Arraste o sólido para girá-lo.Deslize o sólido para girá-lo.
Na figura, cada coluna da vista frontal mostra a pilha mais alta daquela coluna, esteja onde estiver; a vista lateral faz o mesmo com cada fileira. Tente montar dois sólidos diferentes com a mesma vista frontal: é fácil, e é por isso que uma vista nunca basta para descrever um sólido. Visto da direita, a frente do sólido fica à esquerda do desenho.
| Sólido | Vista de cima | Vista frontal | Vista lateral |
|---|---|---|---|
| cilindro em pé | círculo | retângulo | retângulo |
| cone em pé | círculo com o centro marcado (o vértice) | triângulo | triângulo |
| esfera | círculo | círculo | círculo |
| pirâmide de base quadrada | quadrado com as duas diagonais (as arestas inclinadas) | triângulo | triângulo |
| prisma triangular deitado numa face (uma barraca) | retângulo dividido por uma linha (a cumeeira) | triângulo | retângulo |
Projetando nos planos coordenados
Com coordenadas, as vistas ficam muito simples. Ponha o sólido no espaço com x para a direita, y para cima e z vindo na sua direção. Projetar num plano coordenado é só esquecer uma coordenada: a vista de cima guarda x e z, a frontal guarda x e y, a lateral guarda y e z. Um segmento paralelo à parede mantém o comprimento; um inclinado sai mais curto, multiplicado pelo cosseno do ângulo com a parede; um que aponta direto para a parede encolhe até virar um ponto. Do mesmo jeito, um círculo inclinado na sua direção parece uma elipse, e visto de lado é um segmento.
1. Um prisma tem 24 arestas. Qual é a base e quantas faces ele tem? A = 3n = 24 dá n = 8: um prisma octogonal, com F = n + 2 = 10 faces e V = 16 vértices. Conferindo: 16 − 24 + 10 = 2.
2. Um poliedro convexo tem 20 vértices, e em cada um chegam 3 arestas. Quantas faces? 2A = 3 · 20 = 60, então A = 30, e F = 2 − V + A = 2 − 20 + 30 = 12. Se todas as faces são iguais, cada uma tem 2A/F = 60/12 = 5 lados: o dodecaedro.
3. Uma pedra preciosa é lapidada com 10 faces triangulares e 2 faces pentagonais. Arestas: 2A = 10 · 3 + 2 · 5 = 40, A = 20. Vértices: V = 2 + 20 − 12 = 10. (É um antiprisma pentagonal: dois pentágonos, um girado, ligados por uma faixa de triângulos em zigue-zague.)
4. Uma pirâmide tem 10 faces. Então n + 1 = 10, a base é um polígono de 9 lados, A = 2 · 9 = 18 e V = 10.
5. Um cubo tem todos os cantos cortados. V' = 2 · 12 = 24, A' = 3 · 12 = 36, F' = 6 + 8 = 14 (6 octógonos e 8 triângulos). 24 − 36 + 14 = 2.
6. Um poliedro pode ter exatamente 7 arestas? Com F faces de pelo menos 3 lados, 2A ≥ 3F, então F ≤ 4; com cantos de pelo menos 3 arestas, V ≤ 4 também. Aí V − A + F ≤ 4 − 7 + 4 = 1, nunca 2. Nenhum poliedro tem 7 arestas, embora existam com 6 (tetraedro) e com 8 (pirâmide quadrangular).
| Errado | Certo | Por quê |
|---|---|---|
| bola de futebol: A = 12 · 5 + 20 · 6 = 180 | E = 180/2 = 90 | cada aresta é lado de duas faces, então os lados a contam duas vezes |
| V − A + F = 2 numa moldura com buraco | V − E + F = 0 | a relação é para sólidos sem túnel, como todo convexo |
| um prisma hexagonal tem F = 6 | F = 6 + 2 = 8 | as duas bases também são faces |
| uma pirâmide de base com n lados tem 2n vértices | n + 1 | só um ponto, o ápice, se soma à base |
| vista frontal de uma pilha de trás escondida por uma mais baixa na frente | a pilha mais alta aparece | uma vista guarda o mais alto em cada linha de visão, na frente ou atrás |
Ideias-chave
- Prisma com base de n lados: V = 2n, A = 3n, F = n + 2. Pirâmide: V = n + 1, A = 2n, F = n + 1.
- Somar os lados de todas as faces conta cada aresta duas vezes: 2A = 3F₃ + 4F₄ + …; o mesmo a partir dos vértices.
- Euler: V − A + F = 2 em todo poliedro convexo; duas contagens dão a terceira.
- Cortando todos os cantos: V' = 2A, A' = 3A, F' = F + V.
- Há cinco sólidos regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.
- Uma vista é uma projeção ortogonal: apaga a profundidade e guarda o mais alto em cada linha de visão.