Um macete de álgebra não é mágica nem uma regra para decorar. Quase todos são um de dois movimentos inofensivos: multiplicar por 1 ou somar 0. Nenhum dos dois muda o valor de nada, então os dois são permitidos em qualquer lugar, a qualquer hora. O que eles mudam é a forma, e a forma certa faz uma raiz sumir, uma fração se separar, ou uma conta difícil virar conta de cabeça. Esta aula passa pelos macetes mais úteis desse tipo, um por um, começando por multiplicar pelo conjugado, e para cada um diz o que é, por que funciona, quando usar e onde pode dar errado.
Ao final você vai conseguir
- Explicar por que multiplicar por 1 ou somar 0 é sempre permitido, e para que serve.
- Multiplicar pelo conjugado para tirar raízes quadradas, e dizer por que elevar ao quadrado não faria o mesmo serviço.
- Racionalizar um denominador com uma raiz, com uma soma ou diferença de raízes, e com raiz cúbica.
- Somar e subtrair o mesmo termo para completar um quadrado, separar uma fração ou fatorar x⁴ + 4.
- Usar os produtos notáveis ao contrário para multiplicar e elevar números ao quadrado de cabeça.
Todo macete desta aula, e das outras aulas de macetes da trilha, é descrito nas mesmas quatro partes. O que é: o movimento, em uma linha. Por que funciona: uma prova curta, para você conseguir reconstruir o macete se esquecer, e confiar nele. Quando usar: o sinal no problema que avisa que esse macete vai ajudar, porque saber um macete não adianta nada se você nunca percebe a hora dele. A armadilha: o jeito como ele costuma dar errado.
| Parte | A pergunta que ela responde |
|---|---|
| O que é | O que exatamente eu escrevo? |
| Por que funciona | Por que o resultado é igual ao que eu tinha no começo? |
| Quando usar | O que no problema me diz para tentar isso? |
| A armadilha | Como ele costuma dar errado? |
1 é o número que deixa tudo como está na multiplicação, e 0 é o que deixa tudo como está na soma. Então você pode multiplicar qualquer expressão por 1 e somar 0 a ela, e ela continua sendo a mesma expressão. A graça é escrever o 1 e o 0 com um disfarce útil: o 1 como c/c, para algum c bem escolhido que não seja zero, e o 0 como c − c. Isso é diferente da regra das equações, "faça o mesmo dos dois lados". Aqui nada é feito do outro lado, porque nada mudou. Por isso esses movimentos funcionam também numa expressão sozinha, que não faz parte de equação nenhuma.
O que é
O conjugado de uma soma de dois termos, a + b, são os mesmos dois termos com o sinal entre eles trocado, a − b. O conjugado de a − b é a + b. Os termos em si não mudam, só o sinal que os liga. O macete é multiplicar pelo conjugado quando uma raiz quadrada está atrapalhando, porque o produto de um par de conjugados não tem mais raiz quadrada nenhuma. Numa fração, você multiplica o numerador e o denominador por ele, então está multiplicando por 1.
| Expressão | O seu conjugado | O produto |
|---|---|---|
| 3 − √2 | 3 + √2 | 9 − 2 = 7 |
| √x + 1 | √x − 1 | x − 1 |
| √5 + √3 | √5 − √3 | 5 − 3 = 2 |
| 2√7 − 5 | 2√7 + 5 | 28 − 25 = 3 |
| a + bi | a − bi | a² + b² (números complexos, já que i² = −1) |
Por que funciona
Multiplique (a + b)(a − b) termo a termo. Dá a² − ab + ab − b². Os dois termos cruzados, −ab e +ab, são opostos e se cancelam, e sobra a² − b², a diferença de quadrados. Agora deixe um dos termos ser uma raiz quadrada. A raiz só aparece nos termos cruzados, e eles sumiram. O que sobra são os quadrados, e elevar uma raiz quadrada ao quadrado a elimina: (√2)² = 2.
Por que não simplesmente elevar a expressão ao quadrado? Porque o quadrado de uma soma guarda o termo cruzado: (a + b)² = a² + 2ab + b². O termo cruzado 2ab ainda carrega a raiz. Só o conjugado faz os dois termos cruzados ficarem opostos em vez de iguais. A comparação abaixo usa 3 + √2.
Primeiro painel: um quadrado de lado a com um canto de lado b recortado tem área a² − b². Aperte ▶: a forma de L é cortada em duas tiras e uma delas é girada e movida, formando um retângulo (a + b) por (a − b) com a mesma área. Segundo painel: (a + √n) é multiplicado por ele mesmo e pelo seu conjugado (a − √n) numa grade 2 × 2, uma casa para cada par de termos. A raiz só mora nas duas casas cruzadas vermelhas. Ao quadrado, elas se somam; com o conjugado, são opostas e se cancelam, e sobra a² − n sem raiz.
Quando usar
| O sinal no problema | Pelo que multiplicar |
|---|---|
| uma soma ou diferença com raiz no denominador, 1/(3 − √2) | numerador e denominador pelo conjugado do denominador |
| uma diferença de duas raízes numa equação, √(x + 5) − √x = 1 | os dois lados pela soma das raízes |
| um limite que dá 0/0 e tem raiz, (√(x + 1) − 1)/x em x = 0 | numerador e denominador pelo conjugado da parte com raiz |
| duas raízes quase iguais sendo subtraídas, √10001 − √10000 | numerador e denominador pela soma delas, para trocar a diferença por uma divisão |
| um número complexo no denominador, 1/(2 + i) | numerador e denominador pelo conjugado, 2 − i |
Uso 1: racionalizar um denominador
Uma fração com raiz quadrada no denominador costuma ser reescrita sem ela; esse passo se chama racionalizar, porque o denominador vira um número racional. Sem a raiz embaixo, as frações ficam mais fáceis de comparar, somar e estimar: 1/√2 quer dizer "1 dividido por 1,41421…", enquanto √2/2 é só a metade de 1,41421…. Uma raiz sozinha precisa só dela mesma: 1/√2 = √2/2, porque √2 · √2 = 2. Uma soma ou diferença com raiz precisa do conjugado.
Uso 2: uma equação com diferença de raízes
Em √(x + 5) − √x = 1, elevar ao quadrado logo de cara deixa um termo cruzado com raiz dentro, exatamente como na comparação acima. O conjugado dá um caminho mais limpo. Multiplique os dois lados por √(x + 5) + √x. Isto é uma equação, então aqui a mesma coisa é feita dos dois lados, e isso só é seguro se o fator não for zero (a aula da caixa de ferramentas das equações explica por quê). Essa soma é positiva para todo x permitido, vale pelo menos √5, então o movimento é seguro. À esquerda, a diferença de quadrados deixa (x + 5) − x = 5, e o x desaparece.
Uso 3: duas raízes quase iguais
Quanto vale √10001 − √10000? As duas raízes valem cerca de 100, então a diferença é minúscula, e subtrair dois números quase iguais é justamente onde uma calculadora, ou um computador, perde dígitos: se cada raiz é conhecida com 6 dígitos, a diferença pode ficar com só um ou dois deles certos. O conjugado troca a subtração por uma divisão, que não perde nada. Ele também dá uma estimativa rápida: quando n é grande, √(n + 1) e √n valem quase √n, então a soma delas vale quase 2√n.
Uso 4: raízes cúbicas pedem outro parceiro
O conjugado comum não tira uma raiz cúbica: (∛2 − 1)(∛2 + 1) = ∛4 − 1, ainda com raiz. A ideia é a mesma, mas a identidade precisa produzir cubos em vez de quadrados. A diferença de cubos é a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), o que você confere multiplicando: a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³, e quatro termos se cancelam. Então o parceiro de a − b, para cubos, é a² + ab + b². Para uma soma, a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
As armadilhas
Onde mais o conjugado aparece
| Onde | O que ele elimina | Aula |
|---|---|---|
| Dividir números complexos, (5 + 5i)/(1 + 2i) | o i do denominador, já que (1 + 2i)(1 − 2i) = 1 + 4 = 5 | Números complexos |
| Um limite que dá 0/0, como (√(x + 1) − 1)/x em x = 0 | a raiz que mantém o 0/0, para um fator x poder se cancelar | Limites e continuidade |
| A derivada de √x pela definição | a diferença √(x + h) − √x no numerador | A derivada |
| Trigonometria: (1 − cos x)(1 + cos x) | o 1 − cos x: o produto é 1 − cos²x = sen²x | Identidades e rotação |
O conjugado é só um jeito de escrever 1. Outros dois aparecem o tempo todo. O primeiro limpa frações que estão dentro de uma fração: multiplique o numerador e o denominador pelo denominador de dentro. Quando você vê uma fração pequena dentro de uma grande, esse é o movimento. A armadilha é a mesma de antes: todo termo de cima e todo termo de baixo são multiplicados, e o denominador de dentro não pode ser zero.
O segundo é a conversão de unidades. 1000 m e 1 km são o mesmo comprimento, então a fração 1000 m / 1 km vale 1, e 1 h / 3600 s também. Multiplicar por elas muda as unidades, não a velocidade. Escolha cada fração de modo que a unidade que você quer tirar apareça uma vez em cima e uma vez embaixo, e se cancele.
Somar c e tirar c de novo é somar 0. A arte está em escolher c de modo que uma cópia dele complete um padrão que você conhece e a outra cópia fique sobrando, sem estragar nada. O padrão pode ser um quadrado perfeito, uma cópia do denominador ou uma diferença de quadrados.
Completar o quadrado
x² + 6x + 5 não é um quadrado perfeito, mas x² + 6x + 9 é: vale (x + 3)². Então some 9 para completar, e subtraia 9 para continuar honesto. O número a somar é sempre (metade do coeficiente de x)². O sinal para tentar isso: você precisa do menor ou maior valor de uma função do segundo grau, do vértice, ou quer resolver a equação sem a fórmula. A aula de equações do segundo grau monta esse passo como desenho e o usa para provar a fórmula de Bhaskara.
Separar uma fração
Em (x + 3)/(x + 1), x aparece duas vezes, em cima e embaixo, e fica difícil ver como o valor se comporta. Escreva o numerador como o denominador mais o que sobra: x + 3 = (x + 1) + 2, o que é somar e subtrair 1. Agora a fração se separa em 1 + 2/(x + 1), e x aparece uma vez só. Num relance, o valor é um pouco mais que 1 quando x é grande e positivo, e nunca é exatamente 1. Esse é o passo que mais tarde transforma muitas integrais difíceis em fáceis.
Fatorando x⁴ + 4
x⁴ + 4 parece impossível de fatorar: é uma soma, e nunca vale zero para x real. Somar e subtrair 4x² transforma a expressão num quadrado perfeito menos um quadrado, e uma diferença de quadrados se fatora na hora. Isso se chama identidade de Sophie Germain. Ela mostra que n⁴ + 4 nunca é primo para um número inteiro n > 1, porque os dois fatores ficam maiores que 1: n² − 2n + 2 = (n − 1)² + 1 > 1.
Os produtos notáveis costumam ser lidos da esquerda para a direita, para abrir parênteses. Lidos da direita para a esquerda, viram ferramentas de conta de cabeça. O sinal: dois números à mesma distância de um número redondo, ou um número perto de um redondo que precisa ser elevado ao quadrado. Escreva os números como redondo ± pequeno e use a identidade; a parte redonda é fácil de elevar ao quadrado e a parte pequena é pequena.
| Identidade | De cabeça |
|---|---|
| (a + b)(a − b) = a² − b² | 47 · 53 = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491 |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | 98² = 100² − 2 · 100 · 2 + 2² = 10000 − 400 + 4 = 9604 |
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | 203² = 40000 + 1200 + 9 = 41209 |
| a² − b² = (a + b)(a − b) | 1001² − 999² = 2000 · 2 = 4000 |
| (10a + 5)² = 100 · a(a + 1) + 25 | 65² = 100 · 6 · 7 + 25 = 4225 |
| Quando você vê | Tente | Por que funciona |
|---|---|---|
| uma raiz sozinha embaixo, 6/√3 | multiplique numerador e denominador pela raiz | √a · √a = a |
| uma soma ou diferença com raiz, 1/(√5 − 2) | multiplique pelo conjugado | (a + b)(a − b) = a² − b² |
| uma raiz cúbica numa diferença, 1/(∛3 − 1) | multiplique por a² + ab + b² | (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³ |
| uma fração dentro de uma fração | multiplique numerador e denominador pelo denominador de dentro | é c/c = 1 |
| o menor valor, ou o vértice, de uma função do segundo grau | complete o quadrado | + (b/2)² − (b/2)² = 0; um quadrado é ≥ 0 |
| x em cima e embaixo, (x + 3)/(x + 1) | faça uma cópia do denominador no numerador | some e subtraia, depois separe a soma |
| uma soma de dois quadrados que não se fatora | some e subtraia o termo do meio que falta | ela vira uma diferença de quadrados |
| números perto de um número redondo | redondo ± pequeno, depois um produto notável | a parte redonda é fácil, a parte pequena é pequena |
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Saber um macete é metade do caminho; a outra metade é ver quando ele serve. Cada pergunta é um problema e o que ele pede. Escolha o macete que resolve. Uma resposta errada mostra o macete certo e uma frase sobre por que ele funciona ali. As perguntas vêm numa ordem nova a cada rodada.
| Errado | Certo | Por quê |
|---|---|---|
| 1/(3 − √2) → 1/(3 − √2) · (3 + √2) | · (3 + √2)/(3 + √2) | multiplicar só o denominador, ou só o numerador, muda o valor; o que vale 1 é c/c |
| o conjugado de √(x − 1) + 2 é √(x + 1) + 2 | √(x − 1) − 2 | troque o sinal entre os termos, nunca dentro deles |
| (√a + √b)² = a + b | a + 2√(ab) + b | elevar ao quadrado guarda o termo cruzado; só o conjugado o cancela |
| 1/(√a + √b) = 1/√a + 1/√b | multiplique pelo conjugado | uma fração não se separa sobre uma soma no denominador: 1/(1 + 1) = 1/2, não 2 |
| (∛2 − 1)(∛2 + 1) = 1 | ∛4 − 1 | para raízes cúbicas o parceiro é a² + ab + b², não a + b |
| x² + 6x + 5 = (x + 3)² + 5 | (x + 3)² − 4 | o 9 que completa o quadrado também precisa ser tirado |
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Cada exercício é criado na hora, então uma rodada nova nunca é igual. O computador escolhe a resposta primeiro e monta a pergunta em volta dela, trabalhando com frações exatas, por isso o gabarito está sempre certo. As respostas são lidas de forma exata: 0,75, 3/4 e 6/8 contam como o mesmo número (quando a forma irredutível é pedida, 6/8 só recebe um lembrete). Uma resposta errada mostra a resolução linha por linha, na ordem em que a lição faz; o número novo de cada linha aparece colorido.
Ideias-chave
- Multiplicar por 1 (como c/c, com c ≠ 0) e somar 0 (como c − c) nunca mudam um valor, só a forma; funcionam em qualquer expressão.
- O conjugado de a + b é a − b. O produto a² − b² não tem termo cruzado, então uma raiz quadrada em a ou b desaparece; elevar ao quadrado guardaria o termo cruzado 2ab.
- Numa fração, multiplique numerador e denominador pelo conjugado; numa equação, multiplique os dois lados, e confira que o fator não é zero.
- Uma diferença de raízes quase iguais fica melhor escrita como 1 sobre a soma delas: nenhum dígito se perde, e ela dá a estimativa 1/(2√n).
- Para raízes cúbicas o parceiro de a − b é a² + ab + b², de a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Somar e subtrair o mesmo termo completa um quadrado, faz uma cópia de um denominador, ou transforma uma soma como x⁴ + 4 numa diferença de quadrados.
- Os produtos notáveis lidos ao contrário são conta de cabeça: 47 · 53 = 50² − 3², 98² = (100 − 2)².