A anomalia de temperatura de amanhã é mais ou menos metade da de hoje mais um choque aleatório. Uma grandeza assim assume valores na reta real inteira, então não pode ser uma cadeia com uma lista finita de estados. Mas ela é markoviana: o próximo valor depende só do atual. Corte a reta em algumas faixas, faça cada faixa ser um estado, e o processo vira uma matriz de transição comum, aproximadamente. Este capítulo faz isso para o processo mais simples desse tipo, o AR(1), e compara cada resposta da cadeia com a exata.
Ao final você vai conseguir
- Escrever a distribuição condicional de um processo AR(1) um passo e k passos à frente.
- Deduzir a distribuição estacionária dele a partir de somas de normais independentes.
- Transformar o processo numa cadeia finita com faixas e pontos representativos.
- Calcular as probabilidades de transição, as estacionárias e as de k passos da cadeia, e compará-las com os valores exatos.
- Explicar como um computador resolve as cadeias grandes que as faixas finas produzem.
Uma distribuição estacionária é uma que se reproduz: se Xₙ a tem, Xₙ₊₁ também tem. Tente uma normal N(m, v) e veja o que a equação força.
Escolha faixas B₁, …, Bₘ que cubram a reta inteira sem se sobrepor, as duas de fora indo até −∞ e +∞, e um ponto representativo cᵢ dentro de cada faixa. O estado i quer dizer “o valor está na faixa i”, e para seguir em frente fingimos que o valor é exatamente cᵢ. Então o próximo valor é N(φcᵢ, σ²), e a probabilidade de transição para a faixa j = [lⱼ, uⱼ) é uma probabilidade normal, calculada com Φ, a função de distribuição da normal padrão:
Exemplo resolvido: φ = 0,5, σ = 1, três faixas
Faixas (−∞; −1), [−1; 1) e [1; ∞), representadas por −2, 0 e 2. A partir de −2 o próximo valor é N(−1, 1); a partir de 0 é N(0, 1); a partir de 2 é N(1, 1).
| de ↓ para → | −2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| −2 | 0.5000 | 0.4772 | 0.0228 |
| 0 | 0.1587 | 0.6827 | 0.1587 |
| 2 | 0.0228 | 0.4772 | 0.5000 |
Três faixas é grosseiro. Faixas de largura 1/11 de −6 a 6 dão 133 estados, e aí a cadeia concorda com as respostas exatas em três ou quatro casas decimais. Ninguém resolve 133 equações à mão, mas o computador não faz nada de novo. Ele segue um de dois caminhos. (1) Eliminação: escreva πP = π como (P − I)ᵀπ = 0, troque uma das equações (elas são redundantes por uma) por π₁ + … + πₘ = 1 e elimine incógnitas exatamente como faria com três. (2) Iteração: comece de qualquer distribuição e multiplique por P de novo e de novo, π ← πP, até parar de mudar; para uma cadeia como esta, isso converge para π (o resultado de convergência do capítulo de cadeias de Markov). Probabilidades de k passos só precisam da linha de partida multiplicada por P k vezes, nunca do próprio Pᵏ. Qualquer pacote estatístico, o R incluído, usa um desses dois caminhos. A figura abaixo faz o mesmo no seu navegador.
Barras azuis: o π da cadeia dividido pela largura da faixa, para poder comparar com uma densidade; as duas faixas de fora, que vão até ±∞, aparecem como blocos hachurados da sua probabilidade. Curva âmbar: a densidade estacionária exata. Diminua w e aumente o alcance, e as barras seguem a curva; com w = 1/11 e pontos até ±6 a cadeia tem 133 estados, resolvidos aqui num instante. A segunda linha de números responde a uma pergunta de k passos dos dois jeitos: a cadeia multiplica a linha de partida por P k vezes; a resposta exata usa X(n+k) | x₀ ~ N(φᵏx₀, σ²(1 − φ²ᵏ)/(1 − φ²)).
| Passo | O que fazer |
|---|---|
| 1 | Liste as faixas e os pontos delas; faça as duas faixas de fora irem até −∞ e +∞. |
| 2 | Para cada ponto cᵢ: o próximo valor é N(φcᵢ, σ²). Padronize cada limite de faixa: z = (limite − φcᵢ)/σ. |
| 3 | P_ij = Φ(z superior) − Φ(z inferior). Confira que cada linha soma 1; use a simetria para economizar trabalho. |
| 4 | Resolva πP = π com Σπ = 1 (à mão para 3 faixas; por eliminação ou iteração para muitas). |
| 5 | Comparação exata: probabilidades das faixas sob N(0, σ²/(1 − φ²)). |
| 6 | Perguntas de k passos: a linha da faixa de partida vezes P, k vezes, depois some as faixas pedidas; exato: N(φᵏx, σ²(1 − φ²ᵏ)/(1 − φ²)). |
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Cada exercício é criado na hora, então uma rodada nova nunca é igual. O computador escolhe a resposta primeiro e monta a pergunta em volta dela, trabalhando com frações exatas, por isso o gabarito está sempre certo. As respostas são lidas de forma exata: 0,75, 3/4 e 6/8 contam como o mesmo número (quando a forma irredutível é pedida, 6/8 só recebe um lembrete). Uma resposta errada mostra a resolução linha por linha, na ordem em que a lição faz; o número novo de cada linha aparece colorido.
| Errado | Certo | Por quê |
|---|---|---|
| próximo valor ~ N(cᵢ, σ²) | N(φcᵢ, σ²) | o sino é centrado em φ vezes o valor atual |
| faixas de fora cortadas no último ponto | faixas de fora até ±∞ | senão as linhas não somam 1 |
| P_ij ≈ densidade em cⱼ | Φ(superior) − Φ(inferior) | uma probabilidade de transição é uma área, não uma altura |
| comparar com N(0, σ²) | N(0, σ²/(1 − φ²)) | o espalhamento estacionário inclui todos os choques ainda lembrados |
| variância de dois passos 2σ² | σ²(1 + φ²) | o choque mais antigo já foi multiplicado por φ uma vez |
| padronizar com σ² | divida por σ (o desvio padrão) | z = (x − média)/desvio padrão |
Ideias-chave
- AR(1): Xₙ₊₁ = φXₙ + ε, então Xₙ₊₁ | Xₙ = x ~ N(φx, σ²); ele é markoviano.
- Distribuição estacionária (|φ| < 1): N(0, σ²/(1 − φ²)), a partir de v = φ²v + σ².
- k passos à frente: N(φᵏx, σ²(1 − φ²ᵏ)/(1 − φ²)).
- Faixas + pontos representativos: P_ij = Φ((uⱼ − φcᵢ)/σ) − Φ((lⱼ − φcᵢ)/σ), faixas de fora até ±∞.
- O π e o Pᵏ da cadeia aproximam as respostas exatas; faixas mais estreitas aproximam melhor.
- Cadeias grandes são resolvidas por eliminação com Σπ = 1 ou iterando π ← πP.