Empurrando um carrinho numa estrada reta com uma força constante, o trabalho é força vezes distância, ou mais exatamente o produto escalar F · d. Mas um caminho de verdade faz curvas, e uma força de verdade muda de lugar para lugar: um barco atravessando um rio com correntezas, um planeta se movendo num campo gravitacional. A integral de linha resolve isso: corte o caminho em passinhos retos, calcule F · dr em cada um, e some tudo. Este capítulo calcula essas integrais, e acha os campos para os quais a resposta só depende de onde o caminho começa e termina.
Ao final você vai conseguir
- Descrever uma curva com um parâmetro, e calcular o seu comprimento.
- Montar e calcular o trabalho ∫ F · dr ao longo de uma curva.
- Usar o teorema fundamental das integrais de linha: para F = ∇f o trabalho é f(B) − f(A).
- Testar se um campo é conservativo e achar o seu potencial, sabendo quando o teste pode falhar.
x → ∞ (lê-se “x tende ao infinito”) significa que x assume valores cada vez maiores, 10, 100, 1000 e assim por diante, passando de todo número que você conseguir dizer. Nunca substituímos ∞: infinito não é um número, e 1/∞ não é uma conta. Observamos o que f(x) faz enquanto x continua crescendo. Pense numa fábrica que paga 5000 para preparar uma máquina e depois 2 por peça produzida. Fazer x peças custa 5000 + 2x, então o custo por peça é C(x) = (5000 + 2x)/x.
| peças x | 10 | 100 | 1000 | 10 000 | 1 000 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| custo por peça C(x) | 502 | 52 | 7 | 2.5 | 2.005 |
O custo por peça se fecha em 2: o custo de preparação é dividido por tantas peças que cada uma carrega quase nada dele. A álgebra diz o mesmo: C(x) = 5000/x + 2, e 5000/x encolhe em direção a 0. Escrevemos lim C(x) = 2 com x → ∞. A reta y = 2 se chama assíntota horizontal: o gráfico chega tão perto dela quanto se queira, e aqui nunca a toca.
x → −∞ é a mesma ideia para a esquerda: x = −10, −100, −1000 e assim por diante. E quando o próprio f(x) cresce além de todo número, escrevemos lim f(x) = ∞. Isso não é um valor: diz que os valores fogem, e desse lado o gráfico não tem assíntota horizontal.
Todo limite deste capítulo é montado a partir de três fatos. Cada um pode ser conferido com um único número.
| fato | Por quê | confira em x = 1000 |
|---|---|---|
| c / xᵏ → 0, para qualquer número c e qualquer potência k > 0 | um número fixo dividido por um enorme é minúsculo | 5 / x² = 0.000005 |
| xᵏ → +∞ quando x → +∞, para k > 0 | uma potência de um número enorme é maior ainda | x² = 1 000 000 |
| uma constante c continua c | ela não depende de x | 7 = 7 |
Em −∞ o segundo fato depende da potência. Uma potência par é positiva, então ainda vai para +∞: (−1000)² = 1 000 000. Uma potência ímpar mantém o sinal de menos e vai para −∞: (−1000)³ = −1 000 000 000. O primeiro fato vale em −∞ também: 5/(−1000) = −0,005 continua minúsculo.
Aritmética com infinito
Combinando os blocos, alguns resultados são claros e outros não. Quando as duas partes empurram para o mesmo lado, a resposta está decidida. Quando puxam uma contra a outra, não está: a forma sozinha não diz nada, e você precisa reescrever a expressão primeiro. Essas formas não decididas se chamam formas indeterminadas.
| forma | resultado | por quê |
|---|---|---|
| ∞ + ∞ | ∞ | as duas crescem |
| c · ∞ | ±∞ | +∞ se c > 0, −∞ se c < 0 (c ≠ 0) |
| c / ∞ | 0 | o primeiro bloco de construção |
| ∞ · ∞ | ∞ | as duas crescem |
| ∞ − ∞ | indeterminado | x² − x → ∞, mas (x + 1) − x = 1 e x − x² → −∞ |
| ∞ / ∞ | indeterminado | 2x/x → 2, x²/x → ∞, x/x² → 0 |
| 0 · ∞ | indeterminado | (1/x) · x = 1, (1/x) · x² → ∞ |
Quase todo exercício começa como ∞/∞ ou ∞ − ∞. O resto do capítulo é a caixa de ferramentas para transformar isso em algo decidido.
Pegue p(x) = 2x³ − 100x² + 5. Com x → ∞ o primeiro termo vai para +∞ e o segundo para −∞: ∞ − ∞, indeterminado. Olhe os tamanhos em vez disso. Em x = 1000 os três termos são 2 000 000 000, −100 000 000 e 5. O primeiro é vinte vezes o segundo, e a diferença continua aumentando, porque x³ é x vezes x², e x continua crescendo. O termo de maior potência se chama termo dominante (ou termo de maior grau), e lá longe ele é o único que importa.
Em −∞ o parêntese ainda tende a 2, mas x³ → −∞, então p(x) → −∞. A regra: um polinômio em ±∞ vai para onde vai o seu termo dominante. Só duas coisas decidem: o sinal do coeficiente dominante e, em −∞, se o grau é par ou ímpar. Assim −x⁴ + 50x³ → −∞ dos dois lados, e 3x⁵ − x → +∞ em +∞ mas −∞ em −∞.
Uma fração de dois polinômios é ∞/∞ (ou algo sobre ∞), indeterminada. O método tem quatro passos, e sempre funciona:
| passo | o que fazer | (3x² − 20x)/(x² + 5) |
|---|---|---|
| 1 | só a parte de F ao longo do movimento conta, com o seu sinal | x² |
| 2 | dr é o passo, não dt | (3 − 20/x) / (1 + 5/x²) |
| 3 | cada dr aponta para o outro lado | (3 − 0) / (1 + 0) |
| 4 | (−y, x)/(x² + y²) dá 2π em volta da origem | 3 |
Qual de três coisas acontece depende só de como o grau do numerador (a sua maior potência, m) se compara com o grau do denominador (n).
Caso 1: o mesmo grau dá a razão dos coeficientes dominantes
O −20x não é pequeno no começo: em x = 5 a fração vale (75 − 100)/30 ≈ −0,83, longe de 3. Mas ele cresce só como x enquanto 3x² cresce como x², então lá longe ele deixa de contar. A figura abaixo mostra exatamente isso.
Caso 2: um grau maior embaixo dá 0
O denominador ganha a corrida: ele cresce como x², o numerador só como x, então a fração se comporta como 3x/x² = 3/x, que é esmagada até 0.
Caso 3: um grau maior em cima dá ±∞
| graus | limite em ±∞ | exemplo |
|---|---|---|
| m < n | 0 | (3x + 2)/(x² + 1) → 0 |
| m = n | a / b | (3x² − 20x)/(x² + 5) → 3 |
| m > n | ±∞: o sinal de (a/b) · x^(m − n) daquele lado | (x² − 8x)/(2x + 1) → +∞ em +∞, −∞ em −∞ |
Aperte play, ou ⏭, para afastar o zoom: a janela cresce de |x| ≤ 10 até |x| ≤ 10 000. A curva azul é a função; a curva âmbar tracejada fica só com o termo dominante, a parte que cresce mais rápido em cima sobre a parte que cresce mais rápido embaixo. Perto de 0 as duas discordam, às vezes muito, mas conforme a janela cresce a curva azul se funde com a âmbar e f / dominante se fecha em 1. Então o limite de f é o limite do seu termo dominante, que é fácil: um número (a reta verde, uma assíntota horizontal), ou uma curva que foge para ±∞. Troque para x → −∞ e veja a raiz e o conjugado mudarem de resposta.
Raízes mudam uma coisa. Para tirar x² de dentro de uma raiz quadrada você usa √(x²) = |x|, o módulo (o número sem o sinal), porque uma raiz quadrada nunca é negativa. Com x → +∞, x é positivo e |x| = x, então nada muda. Com x → −∞, x é negativo, então |x| = −x. Esquecer esse sinal de menos é o erro mais comum de todo este capítulo.
Em +∞ os mesmos passos, com |x| = x, dão +2. Uma função, duas assíntotas horizontais: y = 2 à direita e y = −2 à esquerda. Uma conferência de sinal com um número pega o erro sempre: em x = −1000 o numerador é cerca de 2000 (uma raiz é positiva) e o denominador é −997, então a fração é cerca de −2.
√(x² + 6x) − x com x → +∞ é ∞ − ∞. Aqui a ideia do termo dominante sozinha falha: dentro da raiz o termo dominante é x², √(x²) = x, e x − x = 0, mas a resposta não é 0. Os dois termos grandes quase se cancelam, e o que decide é a pequena sobra. Multiplicar pelo conjugado (os mesmos dois termos com o sinal entre eles trocado) transforma a diferença numa fração, e frações nós sabemos tratar.
Confira com um número: em x = 1000, √(1 006 000) ≈ 1002,996, e menos 1000 sobra 2,996. Uma regra prática: para x grande, √(x² + bx) ≈ x + b/2, porque (x + b/2)² = x² + bx + b²/4 é quase a mesma coisa debaixo da raiz. Em −∞ não há nada para desfazer: √(x² + 6x) é positivo e −x também é positivo, então a soma é ∞ + ∞ = +∞. Formas indeterminadas precisam ser reescritas, mas antes confira se a forma é mesmo indeterminada.
Além dos polinômios, a mesma ideia, dividir pelo termo que cresce mais rápido, precisa de uma ordem de quão rápido as coisas crescem com x → ∞.
| x | ln x | x² | 2ˣ |
|---|---|---|---|
| 10 | 2.3 | 100 | 1024 |
| 100 | 4.6 | 10 000 | 1.27 · 10³⁰ |
| 1000 | 6.9 | 1 000 000 | 1.07 · 10³⁰¹ |
Por que a exponencial vence: ir de x para x + 1 multiplica 2ˣ por 2, toda vez. O mesmo passo multiplica x² por ((x + 1)/x)², que é 1,21 em x = 10 e só 1,0201 em x = 100, cada vez mais perto de 1. Dobrar a cada passo vence um fator de crescimento que se apaga em direção a 1. O logaritmo é o lento porque desfaz a exponencial: para ln x chegar a 100 você precisa de x = e¹⁰⁰, um número com 44 algarismos.
Em −∞ uma exponencial de base maior que 1 vai para 0: 2⁻¹⁰⁰⁰ = 1/2¹⁰⁰⁰. Então a mesma função em −∞ vira (0 + x)/(0 + 1), que acompanha x até −∞. Troque a figura para x → −∞ para ver. Do mesmo jeito e⁻ˣ → 0 com x → ∞: esse é o formato de uma xícara esfriando, do decaimento radioativo e de um capacitor carregando, que se fixam todos num valor final.
(1 + 1/x)ˣ parece 1^∞: a base vai para 1, e 1 elevado a qualquer coisa é 1, mas o expoente cresce sem limite, e um número só um pouquinho acima de 1, elevado a uma potência enorme, é enorme. Os dois puxam um contra o outro, e o resultado é o número e ≈ 2,71828, que você viu no capítulo de expoentes como o limite dos juros compostos. Uma substituição transforma isso numa família inteira.
Assim (1 + 3/x)ˣ → e³ ≈ 20,09 e (1 − 1/x)ˣ → e⁻¹ ≈ 0,368 (para k negativo os mesmos passos funcionam com u = x/k → −∞, porque (1 + 1/u)ᵘ também tende a e por esse lado). Em dinheiro: juros de 100 % ao ano pagos em x parcelas minúsculas transformam 1 em e, e 300 % em e³.
Quando o grau de cima é exatamente um a mais que o de baixo, o limite é ±∞, mas o gráfico ainda se acomoda ao longo de uma reta, uma assíntota inclinada (oblíqua). A divisão de polinômios a encontra. Dividir x² − 8x por 2x + 1 dá o quociente x/2 − 17/4 e o resto 17/4, então (x² − 8x)/(2x + 1) = x/2 − 17/4 + (17/4)/(2x + 1). A última parte é um número sobre algo que cresce, então vai para 0, e lá longe o gráfico corre ao longo da reta y = x/2 − 17/4.
| você vê | o que fazer |
|---|---|
| nada indeterminado (∞ + ∞, c/∞, c · ∞ …) | leia direto |
| um polinômio | siga o termo dominante |
| uma razão de polinômios (∞/∞) | divida cada termo pela maior potência do denominador, ou compare os graus |
| uma raiz quadrada de x² + … | tire |x| para fora; em −∞ escreva |x| = −x |
| uma raiz menos um termo (∞ − ∞) | multiplique pelo conjugado, depois divida |
| exponenciais, potências e logaritmos misturados | divida pelo termo que cresce mais rápido, usando a ordem |
| (1 + k/x)ˣ, a forma 1^∞ | tende a eᵏ |
1. F = (y, x) ao longo da parábola r(t) = (t, t²), 0 ≤ t ≤ 1: F · r′ = (t², t) · (1, 2t) = 3t², então W = 1. Mais rápido: F = ∇(xy), e f(1, 1) − f(0, 0) = 1.
2. Uma força constante F ao longo de qualquer caminho de A até B faz trabalho F · (B − A), porque F = ∇(F · r).
3. Comprimento de um arco da cicloide r(t) = (t − sin t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π: |r′|² = 2 − 2 cos t = 4 sin²(t/2), então L = ∫ 2 sin(t/2) dt = 8.
4. A gravidade perto do chão, F = (0, −mg), é ∇(−mgy): o trabalho da altura h₁ até h₂ é mg(h₁ − h₂) por uma escada, um escorregador ou uma escada em caracol.
5. lim √(9x² + x)/(3x − 4) com x → −∞. Tire |x| = −x para fora: −√(9 + 1/x)/(3 − 4/x) → −3/3 = −1.
6. lim (√(x² + 4x) − x) com x → ∞. ∞ − ∞: o conjugado dá 4x/(√(x² + 4x) + x); divida por x: 4/(√(1 + 4/x) + 1) → 4/2 = 2.
7. lim (x³ + 5ˣ)/(2 · 5ˣ − x) com x → ∞. O termo mais rápido é 5ˣ; divida por ele: (x³/5ˣ + 1)/(2 − x/5ˣ) → (0 + 1)/(2 − 0) = 1/2.
8. lim (1 + 2/x)ˣ com x → ∞. A forma 1^∞ com k = 2: e² ≈ 7,389.
9. lim (ln x)/√x com x → ∞. Um logaritmo sobre uma potência: pela ordem, 0. (Em x = 10⁶ já vale 13,8/1000 = 0,014.)
Uma rodada de 10 perguntas
Acerte quantas conseguir. Os erros voltam no final, numa rodada de revisão.
Cada exercício é criado na hora, então uma rodada nova nunca é igual. O computador escolhe a resposta primeiro e monta a pergunta em volta dela, trabalhando com frações exatas, por isso o gabarito está sempre certo. As respostas são lidas de forma exata: 0,75, 3/4 e 6/8 contam como o mesmo número (quando a forma irredutível é pedida, 6/8 só recebe um lembrete). Uma resposta errada mostra a resolução linha por linha, na ordem em que a lição faz; o número novo de cada linha aparece colorido.
| Errado | Certo | Por quê |
|---|---|---|
| ∞ − ∞ = 0 | reescreva: fatore, ou use o conjugado | √(x² + 6x) − x → 3, não 0 |
| ∞ / ∞ = 1 | divida pelo termo que cresce mais rápido | 2x/x → 2, x²/x → ∞ |
| √(x²) = x quando x → −∞ | ali √(x²) = |x| = −x | uma raiz quadrada nunca é negativa |
| dividir só o numerador por xⁿ | divida em cima e embaixo pela mesma potência | senão a fração muda de valor |
| tomar o primeiro termo escrito como o dominante | procure a maior potência | em 3 − 2x² o termo dominante é −2x² |
| 1^∞ = 1 | (1 + k/x)ˣ → eᵏ | a base e o expoente disputam uma corrida |
| 2ˣ → ∞ quando x → −∞ | 2ˣ → 0 quando x → −∞ | 2⁻¹⁰ = 1/1024 |
Ideias-chave
- Uma curva é percorrida por r(t); a velocidade r′(t) aponta ao longo dela, e o comprimento é ∫ |r′(t)| dt.
- Trabalho ao longo de uma curva orientada: ∫ F · dr = ∫ F(r(t)) · r′(t) dt; inverter o sentido troca o sinal.
- Em geral o trabalho depende do caminho, como para F = (−y, x).
- Para F = ∇f: ∫ F · dr = f(B) − f(A), o caminho não importa e todo laço dá 0.
- Teste: ∂Q/∂x = ∂P/∂y numa região sem buracos quer dizer conservativo; ache f integrando P e acertando g(y) com Q.
- Buracos quebram o teste: (−y, x)/(x² + y²) tem rotacional zero mas dá 2π em volta da origem.
- ln x ≪ xᵖ ≪ aˣ: logaritmos perdem para potências, potências perdem para exponenciais; e aˣ → 0 em −∞.
- (1 + k/x)ˣ → eᵏ.